Problemas Resolvidos sobre Circuito RLC em AC Teoria

Problema 55-15 Fonte: Problema 26 - Lista de Problemas RLC - Disciplina Circuitos Elétricos da Escola de Engenharia - UFRGS - 2011 - Prof. Dr. Valner Brusamarello.

No circuito mostrado na Figura 55-15.1, sabe-se que V₁ = 60 V. Determine a leitura do voltímetro V₂, bem como o valor de V_ab.

Solução do Problema 55-15

Chamando a impedância do ramo por onde circula I₁, de Z₁, e a impedância do ramo por onde circula I₂, de Z₂, pode-se escrever:

Z₁ = 8,66 + j5 = 10∠30°

Z₂ = 20 - j20 = 20 √2∠-45°

Assumindo a tensão V_ab como a tensão referência, ou seja, V_ab∠0° e baseado nessa informação, pode-se escrever:

|I₁| = |V_ab| / |Z₁| = |V_ab| / 10

Da mesma forma para |I₂|:

|I₂| = |V_ab| / |Z₂| = |V_ab| / 20 √2

Podemos encontrar uma relação entre |I₁| e |I₂| se dividirmos |I₁| por |I₂|, ou seja:

|I₁| = 2 √2 |I₂|

eq. 55-15.1

De posse dessas informações, pode-se encontrar os valores de |I₁| e |I₂| usando um pequeno artifício. Repare no gráfico apresentado na Figura 55-15.2, onde se conhece o valor do ângulo entre |V_R1| e |V_C|, cujo valor é 15°. Então, pode-se encontrar os valores dessas tensões em função de uma corrente. Por exemplo, |I₂|. Como V_R1 = R₁ |I₁| = 4,33 |I₁| y |I₁| = 2 √2 |I₂|, então pode-se escrever:

|V_R1| = 4,33 |I₁| = 2 √2 4,33 |I₂| = 12,247 |I₂|

Da mesma forma para |V_C|:

|V_C| = 20 |I₂|

Pelo enunciado do problema, sabe-se que |V₁| = 60 volts. Ora, olhando para o gráfico acima, nota-se que |V_C|, |V_R1| e |V₁| formam um triângulo. E mais, um dos ângulos e seu lado oposto são conhecidos. Portanto, pode-se usar a lei dos cossenos e determinar o valor de |I₂|, pois já foram deduzidas as equações que relacionam |V_C| e |V_R1| com |I₂|. Logo:

60² = 400 |I₂|² + 150 |I₂|² - 489,88 |I₂|² cos 15°

Após um arranjo algébrico e efetuando-se o cálculo, obtém-se:

|I₂| = √(3600 / 76,812) = 6,846 A

Facilmente se encontra o valor de |I₁| usando a eq. 55-15.1 encontrada acima, ou:

|I₁| = 2 √2 6,846 = 19,36 A

Cabe ressaltar que se pode determinar a fase de I₁ e I₂, lembrando que V_ab foi usada como referência. Logo:

I₁ = 19,36∠-30° A

I₂ = 6,846∠45° A

Esses valores estão em conformidade com a construção do gráfico acima. Agora é possível calcular os valores de V_C e V_R3.

V_C = -j20 I₂ = 20∠-90° x 6,846∠45° = 136,92∠-45° V

V_R3 = R₃ I₂ = 20∠0° x 6,846∠45° = 136,92∠45° V

Realizando a soma fasorial de V_C e V_R3, obtém-se o valor de V_ab. Assim:

V_ab = 136,92∠-45° + 136,92∠45° = 193,65∠0° V

Resultado este em conformidade com a proposta de V_ab ser uma tensão de referência. Para se encontrar o valor de V₂, deve-se avaliar o gráfico mostrado na figura acima. Note que o ponto 5 é exatamente o ponto médio de V_ab. E o ponto 4 é o ponto médio da tensão entre os pontos 5-a. Logo, conclui-se que a tensão V_4-5 é a quarta parte da tensão V_ab. Ou seja:

V_4-5 = V_ab / 4 = 48,41 V

Por outro lado, pode-se encontrar o valor de |V_L|, ou seja:

|V_L| = 5 |I₁| = 96,82 V

Como |V_R1| = |V_R2| e ambas tensões possuem o mesmo ângulo em relação à V_ab, percebe-se que o ponto 5 é o ponto médio de V_L. Então, pode-se escrever a tensão entre os pontos 2 - 5 como:

V_2-5 = V_L / 2 = 48,41 V

Conclui-se que |V_2-5| = |V_4-5|. Essas tensões fazem um ângulo entre si de 60°, como está indicado no gráfico. Considerando isso e com algum conhecimento básico de geometria, é óbvio que temos um triângulo equilátero formado pelas tensões |V_2-5|, |V_4-5| e |V₂|. Portanto, não há necessidade de cálculos para se concluir que:

V₂ = 48,41 V

Há uma pequena discrepância de valores de V₂ entre a lista e a encontrada aqui. Talvez na lista a resposta tenha sido encontrada gráficamente, enquanto o resultado aqui foi encontrado de forma analítico. Portanto, pode-se desconsiderar essa pequena discrepância.

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