En este capítulo estudiaremos las asociaciones de resistencia y condensadores y cuál es el
comportamiento que estos circuitos asumen cuando están sujetos a un voltaje eléctrico
de tipo Corriente continua (CC).
Repitamos aquí dos recordatorios que se usaron en el capítulo 3, ya que son muy importantes para comprender el funcionamiento de un circuito RC.
Consulte la Figura 22-01 para ver un circuito típico que utiliza una resistencia R y un C
condensador en la configuración en serie, y están conectados a una fuente de voltaje V, a través de un interruptor eléctrico S.
Figura 22-01
En este circuito tenemos un interruptor S , que permite encender y apagar la fuente de voltaje que alimenta el circuito.
Cuando está cerrado, aplica un voltaje V de la fuente en el circuito formado por la resistencia en serie con el capacitor.
En la literatura técnica, el tiempo de cierre de la tecla S se representa como el tiempo igual a t = 0+.
En el momento del bloqueo de teclas S, en t = 0+, como el condensador se encontra descargado
inicialmente (q = 0 y Vc = 0), su comportamiento será un corto circuito.
Entonces el voltaje en el condensador, Vc, será igual a cero , y
por lo tanto, toda la fuente de voltaje se aplicará sobre la resistencia R. Así, podemos calcular la corriente eléctrica
que circula a través de la resistencia R en t = 0+.
Para hacer esto, simplemente aplique la ley de Ohm, es decir, I = V / R.
En el instante inmediatamente después t = 0+, el condensador comienza a cargarse eléctricamente por
la corriente eléctrica I. Como el condensador ahora tiene una carga eléctrica, también debe tener un cierto voltaje
eléctrico. Este voltaje eléctrico en el condensador aumenta exponencialmente. La velocidad a la que el condensador adquiere
carga eléctrica depende de los valores de
capacitancia y de resistencia eléctrica en serie con el condensador. Los valores de estos dos componentes
determinan la llamada constante de tiempo de la circuito y está representado por la letra griega τ (tau).
Entonces podemos escribir eso:
τ = R C
Con esta información, presentaremos la ecuación que nos permite determinar el
corriente en el condensador en cualquier momento.
eq. 22-01
Tenga en cuenta que para t = 0, el exponencial se eleva a la potencia cero, y como
sabemos, cualquier número elevado a potencia cero es igual a UNO. Entonces concluimos que
tendremos una corriente circulando por el circuito igual a ic = V / R, como se dijo antes.
Con el tiempo, es decir, t > 0 , la exponencial se eleva a una potencia negativa, haciendo que la corriente del circuito caiga exponencial. Y cuando t tiende al infinito, la corriente tiende a cero.
Es fácil ver que cuando la corriente eléctrica tiende a cero, el voltaje
sobre el condensador aumenta exponencialmente hasta que alcanza el voltaje de la fuente de voltaje.
Entonces podemos escribir la ecuación que determina esta carga, o:
eq. 22-02
Conociendo estas ecuaciones podemos presentar las gráficas que muestran el comportamiento
de un circuito RC.
Figura 22-02
Podemos ver en la Figura 22-02 el gráfico de cómo el condensador obtiene su carga eléctrica
a lo largo del tiempo. Tenga en cuenta en la figura que durante un tiempo igual a una
constante de tiempo, el condensador adquiere 63,2 % de su carga total. Después de dos
constantes de tiempo, alcanza el 86,5% de su carga total.
En la práctica,
consideramos que después de las cinco constante de tiempo, el condensador alcanza su carga
eléctrica máxima. Cuando el condensador alcanza su carga eléctrica máxima, decimos que el circuito ha alcanzado
el estado del régimen permanente. Esto significa que si el circuito no sufre
perturbación eléctrica más tarde, el circuito tiende a permanecer en este estado
indefinidamente
Ahora, tenga en cuenta que a medida que el voltaje en el condensador aumenta, obviamente el voltaje en la resistencia
disminuye, ya que la fuente de voltaje tiene un valor fijo. (constante) Entonces la suma Vc + VR
debe ser igual a V. Entonces, cuando el condensador obtiene su carga completa, el voltaje en el condensador es V y,
por supuesto, en la resistencia tenemos VR = 0. Tenga en cuenta que todas estas situaciones están perfectamente de acuerdo con el
ecuaciones presentadas anteriormente.
Figura 22-03
En la Figura 22-03 tenemos el gráfico de la corriente eléctrica a través del condensador.
Como la resistencia y el condensador forman un circuito en serie, esta corriente eléctrica es la
igual que circulando por la resistencia. Por lo tanto, concluimos que el gráfico de voltaje en la
resistencia se ve igual que el gráfico de la corriente eléctrica en el condensador.
Tenga en cuenta que a medida que la tensión eléctrica en el condensador aumenta (consulte la figura anterior), simultáneamente la tensión eléctrica en la resistencia disminuye. Además, este gráfico también representa la caída de voltaje a través de la resistencia simplemente reemplazándola en el eje vertical ic por VR.
Como se indicó anteriormente, veamos el comportamiento de los circuitos RC.
a través de ecuaciones matemáticas que nos llevan a resolver los problemas. A menudo
debemos usar ecuaciones diferenciales para resolverlas.
Figura 22-04
En el circuito en la Figura 22-04 colocamos el interruptor S en posición 1,
permitiendo el condensador adquiere carga eléctrica a través de la resistencia de 10 ohmios.
Sabemos que inicialmente el voltaje en el condensador es VC = 0 volt. Luego, el
condensador comienza a cargarse y su voltaje aumenta exponencialmente.
La velocidad de carga depende de la constante de tiempo del circuito formado por la resistencia de 10 ohmios y el condensador de 10 µF. Como sabemos el valor de los componentes, podemos calcular la constante de tiempo
t, dado por:
τ = R C = 10 Ω x 10 x 10-6 F = 10-4 s = 100 µs
Con este valor, podemos escribir la ecuación de corriente de carga del condensador
i1, o:
i1 = 50/10 e-t/100µs = 5 e- 10000t
Del mismo modo, podemos escribir la ecuación que expresa el voltaje eléctrico sobre
el condensador, es decir:
VC = 50 (1 - e-t/100µs) = 50 (1 - e- 10000t)
Con esto, establecemos el comportamiento matemático de este circuito. Darse cuenta de que
ahora podemos calcular el valor de i1 y VC en cualquier momento.
Supongamos que queremos saber el valor de VC en el instante
t = 250 µs. Simplemente reemplace este valor de t en la ecuación anterior y
tendremos el valor, o:
En otras palabras: después 2,5 vezes la constante de tiempo del circuito, el condensador
ya está en 91,8% el voltaje máximo que puede alcanzar. Esto es lo que llamamos valores
instantáneas. Está claro en este ejemplo, podemos predecir a qué hora queremos que el condensador adquiera determinado voltaje simplemente eligiendo los valores apropiados de R y C.
Figura 22-05
Vemos en la Figura 22-05 un gráfico que muestra cómo el valor de R modifica la constante de tiempo del circuito cambiando el tiempo de carga del condensador.
Cuanto mayor R, más lentamente aumenta la carga del condensador y viceversa. Aquí suponemos que el valor del condensador no ha cambiado. Por supuesto que podemos
mantenga el valor de R fijo y varíe C. Manteniendo el razonamiento, concluimos
que cuanto sea más grande C, más lentamente aumenta la carga del condensador, y viceversa.
Ahora veamos la situación con la tecla S en la posición 2
Supongamos que la tecla S ha permanecido 10 constantes de tiempo en posición 1.
Esto asegura que el condensador tenga un voltaje eléctrico máximo de 50 voltios.
Si movemos el interruptor S a posición 2, el condensador se descarga por la
resistencia de valor 40 ohms. La nueva constante de tiempo será:
τ = R C = 40 Ω x 10 x 10-6 F = 40-4 s = 400 µs
Tenga en cuenta que debido a que el valor de la resistencia se cuadruplicó, la constante de tiempo también se cuadruplicó. De esa manera, ahora podemos escribir las ecuaciones para la corriente eléctrica
i2 y para el voltaje eléctrico en el condensador, VC.
Hasta ahora hemos estudiado circuitos donde el condensador se encontra descargado inicialmente,
o sea, VC = 0.A partir de este momento analizaremos los circuitos.
donde el condensador tiene una carga inicial, es decir, VC ≠ 0.
Este voltaje que aparece en los terminales del condensador se llama valor inicial.
Tan pronto como cerramos la clave, comienza la fase de transición y para los fines
prácticos, podemos considerar que solo termina después de cinco constantes de tiempo.
Después de eso, ingresamos a la llamada fase estado estable o estacionaria.
Para determinar los valores de la fase transitoria necesitamos un
ecuación que nos permite alcanzar los valores deseados. Esta ecuación se muestra abajo.
eq. 22-03
En esta ecuación, el significado de las variables son:
VC - voltaje del condensador en cualquier momento t
Vi - voltaje inicial en condensador
Vf - vpltaje final en condensador
t - tiempo que queremos calcular el voltaje VC
τ - constantes de tiempo del circuito
Si está interesado en saber cómo llegamos a esta ecuación,
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Para ver una aplicación práctica del uso de esta técnica,
Haga clic aquí
Muchos circuitos eléctricos no tienen la forma simple que hemos estudiado hasta ahora.
En este ítem estudiaremos casos más complejos, por lo que debemos recurrir a los conocidos
Teorema de Thévenin. Entonces tenemos que encontrar la resistencia Thévenin
del circuito para calcular la constante de tiempo.
Ejemplo - Veamos un ejemplo
que aparece en la página 291 (ejemplo 10.10) del libro de Robert Boylestad [3].
El circuito aparece en la Figura 22-06.
Figura 22-06
Item a - Determinemos la expresión matemática para el
comportamiento transitorio de la voltaje Vc y de la corriente ic en función del tiempo
después del cierre de la llave (posición 1 en t = 0 s).
Consideraciones - Tenga en cuenta que tenemos tres resistencias.
en el circuito cuando el interruptor S está en posición 1.
Para calcular la constante de tiempo, debemos reducir a una sola resistencia, que será la
Resistencia a Thévenin. Apliquemos los conceptos que aprendimos en capítulo 15
para calcularlo Sabemos que debemos cortocircuitar la fuente de voltaje. Ver la Figura 22-07
cómo fue el circuito modificado para el cálculo de la resistencia de Thévenin.
Figura 22-07
Por el circuito tenemos que R1 y R2 están en paralelo.
Como ya sabemos calcular el paralelo de dos resistencias, realizando el cálculo encontramos
el valor de 20 kΩ. Y obviamente este paralelo está en serie con
R3, por lo tanto, encontramos para resistencia de Thévenin el valor de:
Rth = 20 + 10 = 30 kΩ
Ahora podemos calcular la constante de tiempo del circuito.
τ = Rth C = 30 x 103 x 0,2 x 10-6 = 6 ms
Con el valor de la resistencia de Thévenin, calculemos el valor de la voltaje de Thévenin. Como sabemos, para esto debemos calcular el voltaje circuito abierto, como se muestra en la Figura 22-08.
Figura 22-08
Analizando el circuito anterior, nos damos cuenta de que no habrá corriente eléctrica circulando por
R3, por lo tanto, la voltaje de Thévenin se reduce al cálculo del voltaje en la resistencia R2. Así, R1 y R2 formar un divisor resistivo que sea fácil de resolver. Entonces:
Vth = V R2/ (R1 + R2) = 21 x 30/ (30 + 60)
Y así, realizando el cálculo, concluimos que:
Vth = 7 V
Ahora es posible construir el circuito equivalente de Thévenin reemplazando el
condensador en el circuito como aparece en la Figura 22-09.
Figura 22-09
Para encontrar la expresión matemática que define el voltaje eléctrico en el condensador en el circuito, necesitamos usar el eq. 22-3, se muestra a continuación.
A través de los cálculos realizados, definimos los valores iniciales y finales de la tensión del condensador, o:
Vi = 0 V e Vf = Vth = 7 V
Luego, sustituyendo estos valores en la ecuación anterior y resaltando términos similares, encontramos:
Vc = 7 (1- e- t/6 ms )
En otras palabras, para t = 0 tenemos Vc = 0 porque 1 - e-0 = 0. A medida que t crece, e- t/6 ms tiende a cero y por lo tanto Vc tiende a la fuente de voltaje de 7 voltios .
Para determinar la expresión matemática que define la corriente eléctrica en el condensador,
usemos eq. 22-1. Para una mejor comprensión, repitámoslo aquí.
Vea el circuito en la Figura 22-10.
Figura 22-10
En este caso particular, V es la voltaje Thévenin (7 voltios), R es la
resistencia Thévenin (30 kΩ) y C es el valor del capacitor (0,2 µF)
en el circuito. Al sustituir la ecuación anterior y realizar el cálculo, encontramos la expresión matemática que se solicitó en el problema.
ic = 233 µA ( e- t/6 ms )
Lo que dice esta ecuación es que cuando activamos la tecla, es decir, t = 0 , la corriente que
pasa a través del condensador es de 233 µA ( porque e0 = 1). Si t aumenta, la corriente tiende a cero, como se esperaba.
6. Corriente Eléctrica en un Condensador
Como un condensador está formado por dos conductores separados por un material dieléctrico o aislante, significa que la carga eléctrica no se conduce a través del condensador. Aunque aplicar un voltaje a los terminales del capacitor no hace que éste conduzca cargas a través de sus
dieléctrico, puede producir pequeños desplazamientos de una carga en su interior. Como el voltaje varía con el tiempo, este desplazamiento también varía con el tiempo, causando
la llamada corriente de desplazamiento.
En los terminales de un capacitor, la corriente de desplazamiento es indistinguible de una corriente de conducción. Por lo tanto, podemos decir que:
"La corriente en un capacitor es proporcional a la variación temporal del voltaje a través de él."
eq. 22-04
Tenga en cuenta que la ecuación eq. 22-04 expresa perfectamente la definición anterior. Por tanto, se pueden sacar dos conclusiones:
Si el voltaje v en los terminales es constante, entonces la corriente en el capacitor es nula, o i = 0.
Si el voltaje v en el capacitor cambia instantáneamente, entonces i = ∞. Físicamente, esto es imposible, ya que requeriría una potencia infinita. Esto implica que un condensador no puede sufrir variaciones instantáneas de voltaje. En otras palabras: no podemos tener discontinuidad en v(t).
La razón por la que la corriente en el capacitor es cero cuando el voltaje a través de él es constante es que no se puede establecer una corriente de conducción en el material dieléctrico.
Así, el condensador en presencia de una tensión constante se comporta como un circuito o bucle abierto.
7. Voltaje Eléctrico en un Condensador
Trabajando algebraicamente la eq. 22-04 e integrando obtenemos el voltaje en el capacitor cuando conocemos la corriente que fluye por él.
Ver el eq. 22-05.
eq. 22-05
El tiempo to se llama tiempo inicial y el voltaje v(to) se llama condición inicial.
La mayoría de las veces lo hacemos to = 0, un valor conveniente.
Ejemplo
Sea un capacitor, cuya capacitancia se desconoce, conectado directamente a una fuente de corriente de valor dado por:
i(t) = 3,75 e- 1,2 t u-1(t) A
Y el voltaje en el capacitor es:
v(t) = 4 - 1,25 e- 1,2 t u-1(t) V
Queremos determinar el valor de la capacitancia del capacitor. Para resolver este problema usaremos eq. 22-05. Entonces sustituyendo valores numéricos tenemos:
4 - 1,25 e- 1,2 t = (-3,125/C ) (e- 1,2 t - 1 )
Igualando los coeficientes de e- 1,2 t , obtenemos:
